从传统到新颖——构造类问题简析

广东华图教育  许志敏

     构造类问题，经过几年的探索和发展，已经从陌生到熟悉、从新颖题型演变成必考题型。在频繁出现的同时，其形式也越来越灵活多样，这与当前数学运算从题型到方法的划分都不再那么单一的趋势不谋而合。

     传统的构造类题目，主要分为三大类型，主要特征是题目中出现了“至多”、“至少”、“最轻”、“最重”等字眼，我们通过下面几道真题来回顾一下。

题型一：极端构造

方法点睛：由极端情况构造等式

【例1】（国考2006）5人的体重之和是423斤，他们的体重都是整数，并且各不相同，则体重最轻的人，最重可能重（  ）。

A. 80斤             B. 82斤

C. 84斤            D. 86斤

解析：分析题意，要使体重最轻的人最重，换言之，其他人要尽可能地轻。

设体重最轻的人重x斤，令x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=423 =>x=82.6

x最大是82.6，即不能超过82.6，且x为整数，∴x取82

【例2】（广东2009）某单位有52人投票，从甲、乙、丙三人中选出一名先进工作者。在计票过程中的某时刻，甲得17票，乙得16票，丙得11票，如果规定的票比其他两人都多的候选人才能当选。那么甲要确保当选，最少要再得票（   ）。

A.1张B.2张

C.3张D.4张

解析：已统计选票17+16+11=44，剩余52-44=8票。这里对甲最大的威胁是乙，设甲再得票x，乙再得票(8-x)，令17+x=16+(8-x) =>x=3.5

x最小是3.5，满足条件的整数取4。

题型二：抽屉原理

方法点睛：最不利原则

【例3】（国考2007）从一副完整的扑克牌中，至少抽出（  ）张牌，才能保证至少6张牌的花色相同。

A. 21                            B. 22                

C. 23                            D. 24

解析：所谓“最不利原则”，就是“从极端糟糕的情况考虑问题”。

     一副完整的扑克牌共54张，包括大小鬼和4种花色各13张。要满足6张牌的花色相同，最幸运的情况当然是一口气抽到6张花色一致的；然而最糟糕的情况则是：抽出了大小鬼、抽出了4种花色各5张，直至无论抽哪一张，都能保证其中6张牌的花色相同，这时，抽出的总张数为2+4×5+1=23

题型三：正难则反

【例4】（广东2010）公司某部门80%的员工有本科以上学历，70%有销售经验，60%在生产一线工作过。该部门既有本科以上学历，又有销售经历，还在生产一线工作过的员工至少占员工的（   ）。

A. 20%B. 15%

C. 10%D. 5%

     解析：题目给出了三个限定条件：本科以上学历（A）、有销售经历（B）、在生产一线工作过（C），乍一看是个三集合的容斥类问题，但仅凭已知的3个独立集合，无法确定三集合的交集。本题我们应该反过来思考：

     80%的员工有本科以上学历，70%有销售经验，60%在生产一线工作过20%的员工没有本科以上学历，30%没有销售经验，40%没有在生产一线工作过。

     如图，矩形表示公司全体员工，三个阴影部分分别表示、、。要使A∩B∩C最少，即方框以内、圈圈以外的面积最小，则3个圆圈要覆盖最多，即彼此无交集，此时

A∩B∩C=1-（++）=1-（20%+30%+40%）=10%

在刚刚过去的2012年国考数量关系部分，15道题就有3道可以划归到构造类，其中2道看似几何题，但必须结合构造的思维来求解：

66. 有300名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源类分别有100、80、70、50人，问至少有多少人找到工作才能保证一定有70名找到工作的人专业相同?
A.71B.119

C.258D.277

思路提示：抽屉原理 （69+69+69+50）+1=258

75. 为了浇灌一个半径为10米的花坛，园艺师要在花坛布置若干个旋转喷头，但库房里只有浇灌半径为5米的喷头，问花坛里至少要布置几个这样的喷头才能保证每个角落都能浇灌？

A.4B.7

C.6D.9

     思路提示：几何问题+构造原理。本题的实质是：用半径为5的小圆完全覆盖半径为10的大圆，至少需要几个小圆？

     切入点：首先，实现大圆圆周的全覆盖，至少需要6个小圆（相交弦刚好是小圆的直径）；其次，覆盖中间部分还需要一个小圆。所以，总共是6+1=7个。

     79. 草地上插了若干根旗杆，已知旗杆的高度在1至5米之间，且任意两根旗杆的距离都不超过它们高度差的10倍。如果用一根绳子将所有旗杆都围进去，在不知旗杆数量和位置的情况下，最少需要准备多少米长的绳子?
A.40B.60

C.80D.100

     思路提示：本题最简单的方法是，假设只有两根旗杆，分别高1米和5米，则两根旗杆的距离为（5-1）×10=40，围起来需要绳长40×2=80米（一个来回形成封闭图形）。

     如果大家觉得不放心，可以假设三根旗杆，分别高1米、3米和5米，那么两两之间的距离分别是20米、20米和40米，围起来绳长也是80米。

小结

     当前，行测考试中数学运算的考察越来越灵活，单纯套公式的题目几乎绝迹，题型的归类也不再那么传统和单一，这对考生的思维能力和对知识的综合运用能力提出了更高的要求。但是，一切的创新都离不开最基本的核心理论的支撑，考生在平时的练习中还是要注重基本功的训练，注意技巧的运用。切不可将精力过多地投入到所谓的新颖题型，这类题通常都是昙花一现，而且变幻莫测、难以把握。只有打好了基础，才能稳打稳扎，以不变应万变。