2015广东公务员考试大纲解读之容斥问题

2015-02-07 10:41 广东公务员考试网来源：广东公务员考试网

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1容斥问题概述

容斥问题，就是讨论满足不同条件的对象的数目的问题，也就是我们中学中学习过的，讨论几个集合的交集、并集、补集的元素个数问题。

1.1题型特征

容斥问题常见的命题形式是：题目中出现一个整体量，按照不同的条件，整体量被分为几个部分，通常来说，题目中划分出的几个部分会有公共元素，问满足（或不满足）某些条件的对象的数量。

例：【广东-2004】某班有50名学生，在第一次测验中有26人得满分，在第二次测验中有21人得满分。如果两次测验中都没有得满分的学生有17人，那么两次测验中都获得满分的人数是多少?

A．13人 B．14人 C．17人 D．20人

本题中，出现了一个整体量（某班总人数），按照对象是否满足2个条件（第一次测验是否满分、第二次测验是否满分），把总体分成几个部分（A：第一次满分的人、B：第二次满分的人、C：两次均未得满分的人），显然A、B两部分是有公共元素的（两次测验均得到满分的人），最后题目问满足某些条件的对象的数目，这就是典型的容斥原理问题。

另外，公职考试中会出现一类所谓“多集合反向构造”问题，从特征上与容斥原理问题极为相似，很容易与3集合容斥原理问题混淆。这里面我们要强调的是，反向构造问题给出的量通常较少（通常是3个或4个，而3集合的容斥问题涉及的量至少是6个），所以无法确定某个具体的量，题目中的问法通常是某个量“至多（或至少）是多少”，与容斥问题略有不同。

1.2题型分类

容斥问题按照划分条件的个数来分类，可分为2集合容斥问题及3集合容斥问题，其中3集合容斥原理问题又分为标准型及非标准型。

2广东省历年命题规律

容斥问题可以说是比较传统的重点内容，广东省从04年到11年的考试中几乎是每年1道，而从12年至今只有考过1次就是在14年。由此看来容斥问题在广东省考命题人的心中地位似乎在逐渐下降，14年刚刚考过的情况下，15年继续命题的可能性也随之下降。尽管如此，容斥问题由于它与现实结合得较为紧密，并且掌握起来脉络清晰，是广大文科生的福音，我们仍然推荐考生用心去体会，可以说是令大多数人郁闷的数学运算部分中的最易上手题型。

近些年广东省考的命题中，以2集合容斥问题结合简单的方程法、数字特性思想为主。3集合容斥原理问题，虽然涉及的量比较多，但是命题形式较少，通常直接套用公式即可解决，可以说是比较简单的容斥问题，命题的可能性本身较低，由于14年省考刚刚出现过比较稀有的3集合问题，如果15年考试中仍然有容斥问题，那么2集合型的可能性较大。

2015广东公务员考试大纲解读之容斥问题

图1 容斥问题命题趋势图

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3.1解题技巧分析

容斥问题的解决方法可以说非常直接，就是利用2个类型一共涉及到的3个公式去解决问题。而当题目中出现的量较多（通常是3集合型）或者区分条件比较拗口时，推荐大家做一个文氏图帮助理解。 2015广东公务员考试大纲解读之容斥问题

作图时比较值得注意的是，按题意把数据标示在图中，一定是从中心向外标注，即先标注满足条件最多的那个部分，如果遇到未知量可直接设为x、y等等。另外，列式后不要着急计算，尤其对于3集合容斥原理，涉及的量非常多，绝大多数题目都可以通过尾数法快速作答。

3.2典型例题分析

以下我们结合一些具体真题，为大家介绍一下不同类型的容斥问题：

例a【广东-2008】14.某单位有60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人? （）

A. 12 B. 14 C. 15 D. 19

本题的设计比较新颖，题目中涉及到几个量：穿白衣的、穿黑衣的、穿蓝裤的、穿黑裤的，所以有相当一部分考生会认为本题中一共有4个区分条件，从而把题目复杂化。我们说2集合的容斥原理问题，对于是否满足2个条件，就已经可以把总量划分为4个不相重合的部分了：满足条件A不满足B的、满足条件B不满足A的、满足A和B的、都不满足的。也就是说2集合容斥原理问题，一共涉及的部分量就是4个，加上总体量一共涉及5个量。这5个量通过公式联系在一起（4个互相不重复的部分量之和等于总体量）知道其中任意4个量，就可求得另外一个量。本题中一共给出4个量求另外1个，是典型的2集合容斥原理问题。两个区分条件分别为：是否穿黑衣、是否穿黑裤，于是题目中的“12人穿白衣蓝裤”可理解成为未穿黑衣也未穿黑裤的人数，那么如果设穿黑衣黑裤的人数为x，则根据公式34+29-x=60-12。根据尾数法，x尾数是5，C。

例b【广东-2011】两人参加测试，甲做错了总数的1/3,乙做错了6道题，两人都做错了总数的1/5,两人都做对的题有（）道。

A.5 B.6 C.7 D、8

本题同样是今年来比较新的命题方式。具体来看的话，题目中所有对象按2个区分条件（甲是否做错、乙是否做错）被分为几个部分，应该是2集合的容斥原理无误。可是2集合容斥问题是涉及5个量，只有1个公式，应该是知4可求1的，而题目中只给出3个条件，这就是本题的难点。解决本题时，我们说遇到未知量，就直用字母表示设出未知数。若设都做对的题目为x，总题量为y，则根据公式有：( 1/3)y+6-(1/5)y=y-x，整理得x-（13/15）y+6=0。对于这种1个方程中含有2个未知数的不定方程问题，最常规的方法就是代入排除加上数字特性。由于x是整数，所以（13/15）y也必是整数，于是y就必须是15的倍数，只有y=15时候得到x=7是有答案选项的，所以是C；或者经过带入发现，只有x=7时，可以解得y是整数，同样可得这个就是最合理的答案。

例c【广东-2014】为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。在该单位的所有职工中，参加合唱活动有189人，参加象棋活动有152人，参加羽毛球活动有135人，参加两种活动的有130人，参加三种活动的有69人，不参加任何一种活动的有44人。该单位的职工人数为（）。

A.233 B.252 C.321 D.520

本题是“典型”的3集合“非标准”型容斥原理问题。区分“标准型”和“非标准型”容斥问题就看一件事情：题目中给出条件是“所有的满足2个条件的对象数目”还是“满足某特定的2个条件的对象数目”，那结合本题来看题目中给出的是“参加2种活动的（总人数）”，并未涉及到到底是参加哪2个活动的人数，这个就是典型的非标准型3集合容斥原理问题，应该套用相应公式。

另外，跟大家分享一个小窍门：3集合标准型容斥原理问题，公式涉及9个量，知8可求1；而非标准型问题，公式涉及7个量，是知6可求1。所以区分是哪种类型，可以看题目中给出几个条件，那本题中给出6个量，自然应该选择非标准型的公式解决，结合尾数法，B。

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广东华图祝愿广大考生一举成“公”！

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